مقدمه ای بر استدلال ریاضی

از متن کتاب:
ریاضیات چیست؟ What is Mathematics
هدف این کتاب آشنا کردن دانشجو با استدلال ریاضی است اما در این مورد مقصودمان نه تمرین دادن تکنیک بلکه مطرح کردن متدولوژی است. چنین کتابی باید به طور کامل با کتاب درسی مربوط به روشهای حساب یا اعمال جبری متفاوت باشد اما برای اینکه بخواهیم این تفاوت را درک کنیم، باید ایده یی در مورد اینکه نظام موسوم به ریاضیات درباره چیست و نوع مسائلی که ریاضیدانها حل می کنند، داشته باشیم. در این مورد ممکن است بعضی از خوانندگان با تعجب دریابند که این مسائل غالباً با انواعی که با آنها آشنا بوده اند تفاوت بسیار دارند از این گذشته با توجه به اینکه هر دانشجوئی از اولین سالهای تحصیلش به مطالعه ریاضیات پرداخته است باید انتظار داشت که دانش معقولی از این رشته داشته باشد.
در تعاریف ریاضیات در فرهنگ دانشگاهی جدید وبستر و در فرهنگ ریاضی جیمز و جیمز تفاوتی اگر نه در اساس در تاکید وجود دارد. وبستر چنین میگوید که ریاضیات عبارتست از «علمی که از نسب دقیق موجود بین کمیات با مقادیر و اعمال و روشهایی که توسط آنها و مطابق با این نسب کمیات مورد جستجو از کمیات معلوم یا مفروض دیگر، استنتاج پذیراند گفتگو می کند.» از طرف دیگر در فرهنگ ریاضی، ریاضیات به طور ساده عبارت از «بررسی منطقی شکل، ترتیب و کمیت» است. در این صورت ممکن است دانش آموزی که هشت یا نه سال حساب، دو دوره جبر و سه دوره هندسه خوانده، تعریف اول با تاکیدش بر کمیات را ترجیح دهد. و اگر در هندسه کار نکرده باشد، ممکن است ریاضیات را چیزی بیش از عملیات عددی در نظر نگیرد. از طرف دیگر دانشجوی دانشگاه ممکن است حساب انتگرال و دیفرانسیل وحتی معادلات دیفرانسیل را در تعریفش وارد کند. در واقع این تعاریف دانشجویان تنها کاربردهای خاصی از ریاضیات در خود این رشته را توصیف می ،کنند و بینش محدودشان در این مورد صرفاً نتیجه عدم تجربه و بی خبری آنهاست...