جبر مجرد

کازومانو و اویلر گرامی پیشنهاد میدم چند کتاب مبانی مجموعه ها و منطق ریاضی که پایه تمامی ریاضیات بر روی آن بنا شده - جبر که تنها شاخه ای از ریاضیات است - را بخووانید و در مورد اصل هایی مانند اصل وجود ، اصل توسیع ، اصل شمول ، اصل زوج ، اصل موضوع بی نهایت و ...که در کامنت های قبلی نام بردم و در مبانی هستند را فرا گیرید .....................
[edit=simin]1393/12/11[/edit]

افرین برشما جناب اویلر.به صورت کلی جبریست ها همواره تمایل دارن که در اثبات ها از اصل انتخاب استفاده نکنند و در قسمت وسیعی از جبر این موضوع دیده میشه.انالیز دانا هم این چنین هستند البته تعدادی از قضایا بدون اصل انتخاب پادرهوا میمونه ولی تمایل به عدم استفاده از این اصل همواره وجود داشته.میشه اصل انتخاب رو مردود دونست و ریاضیاتی رو بدون اون ساخت.اصل انتخاب موجب نتایجی شده که با شهود ما سازگار نیست نمونه بارزش پارادوکس باناخ تارسکی که میگه دوتا کره با شعاع های مختلف رو میشه با تعدادی انتقال و دوران و...همنهشت کرد که بدیهیه با شهود ما ناسازگاره.

البته باید حرفام رو کمی اصلاح کنم؛ استفاده از اصل موضوع بی نهایت اجتناب ناپذیره اما میشه از اصل انتخاب استفاده نکرد! یه مثال ساده قضیه ی لاگرانژ هست که در حالت نامتناهی حتماً باید از اصل انتخاب در اثباتش استفاده بشه اما در حالت متناهی بدون
استفاده از اصل انتخاب هم قابل اثباته؛
چون درباره ی شهودگراها گفتم اصل انتخاب رو قبول ندارند باید این توضیح رو اضافه کنم که قبول نداشتن شهودگراها به معنای تصمیم ناپذیر دونستن اصل انتخاب نیست بلکه اونا این اصل رو غلط میدونند. این موضوع در نگاه اول عجیب به نظر میرسه و هر آدم
عاقلی میدونه زندگی بدون اصل انتخاب خیلی سخته؛ اما واکنش شهودگراها به این موضوع چی بود؟ آیا اونا دور توپولوژی و آنالیز خط کشیدند و بی خیال ایفای نقش در توسعه ی ریاضیات مدرن شدند؟
جواب این سوال خیلی جالبه؛ براوئر بزرگ که پیامبر و پیشوای شهودگرایان بود نقش بسیار مهمی در توسعه ی توپولوژی داشت. قضیه ی نقطه ی ثابت براوئر که قضیه ی مهمی در توپولوژی جبری هست یک نمونه از کارهای مهم براوئر در توسعه ی توپولوژی
است. شهودگرایان رو میشه پرکارترین دسته ی ریاضیدانان دانست. در زمینه ی آنالیز هم کارهای جالبی انجام دادند. "آنالیز شهودگرایی" ماحصل عملکرد شهودگرایان بوده که در نوع خودش خیلی جالبه؛ در آنالیز شهودگرایی نه تنها "خاصیت ارشمیدسی
اعداد حقیقی" برقرار نیست (در "آنالیز غیراستاندارد" هم این خاصیت برقرار نیست) بلکه علاوه بر اون سه نوع "بی نهایت کوچک" مختلف وجود داره که وجود هر سه تا رو ابتدا ثابت می کنند و بعدش ازشون استفاده می کنند. نوع اول بی نهایت کوچکهایی
هستند که از هر n^-1 کوچکترند. نوع دیگه بی نهایت کوچکهایی هستند که با رسیدن به توان دو حاصل صفر میدهند. در واقع شهودگرایان به جای اصل انتخاب اصول ضعیفتری رو می پذیرند و با استفاده از اون اصول توپولوژی و آنالیز می ورزند. اطلاعات بیشتر
رو میتونید در کتاب "فلسفه ی براوئر" که توسط شاگرد وفادار براوئر یعنی جناب فن دالن نوشته شده (و به فارسی هم ترجمه شده) پیدا کنید.

farshadashkbousphysics عزیز
مرسی که کامنتام رو خوندی :)
دوست عزیز! حضرت براوئر (رحمت الله علیه) و پیروانش اصل انتخاب رو قبول ندارند؛ حتی از اون بالاتر اصل طرد شق ثالث رو هم قبول ندارند و خیلی از اثباتهایی که بر مبنای اصل طرد شق ثالث میشه رو قبول ندارند. همونطوری که میدونیم برهان خلف روشی
برگرفته از اصل طرد شق ثالث هست و شهودگرایان این روش رو در حالت کلی قبول ندارند، چون ساختی نیست. (مثال مشهورش اثبات گزاره ی "عدد حقیقی به توان گنگ لزومی ندارد گنگ باشد" هست که با استفاده از 2 به توان رادیکال 2 و 2به توان
رادیکال 2 به توان رادیکال 2 =4 ثابت شده و شهودگراها این اثبات رو قبول ندارن) بنابراین ممکنه اونا بخشی از ریاضیات امروزی که توسط پیروان هیلبرت (فرمالیست ها) توسعه پیدا کرده رو قبول نداشته باشند اما درباره ی جبر ساختارهای ریاضی متناهی
(گروهها و حلقه های متناهی) چون براهین ما از اصل موضوع انتخاب استفاده نمیکنن حتی برای شهودگراها که بدبین ترین ریاضیدانان هستند (فقط اثباتهای ساختی رو قبول دارند) هم قابل قبول هستند. از اونجایی که در جبر مجرد تا حدود زیادی به
ساختارهای جبری متناهی پرداخته میشه و در تئوری گالوا از گروهها و میدانهای متناهی استفاده میشه یه جورایی میشه گفت یقینی تره. (نسبت به آنالیز یا توپولوژی)
اما درباره ی هندسه شما جمله ی من رو با دقت نخوندید؛ من گفتم
که "در هندسه اقلیدسی کسی که اصل پنجم رو قبول نکنه نمیتونه هندسه ی اقلیدسی رو بپذیره" حالا اگه بخوام واضحتر حرفم رو بزنم اینجوری میشه:
"در (قالب اصل موضوعی) هندسه اقلیدسی کسی که اصل پنجم رو قبول نکنه نمیتونه (خیلی از قضایای ثابت شده در) هندسه ی اقلیدسی رو بپذیره"
واضحتر اینکه قدما می پنداشتند که 4 اصل اول اصل پنجم رو نتیجه می دهند و حدود 1700 سال بر این رای باطل پافشاری کردند و برای اثباتش زحمت کشیدند و با دانسته گرفتنش کلی قضیه ی دیگه دراوردند اما برای کسی که بخواد فقط 4 اصل اول رو
بپذیره اون قضایا دیگه تصمیم ناپذیر میشن؛ دیگه اینجاست که طرف باید انتخاب کنه که اقلیدسی فکر کنه بیضوی یا هذلولوی (یا هر جور دیگه)؛ مراد من این بود که بگم "جبر ساختارهای متناهی" یقینی تر از سایر قسمتهای ریاضیاته چون از اصول موضوعه ی
مورد بحثی مثل اصل انتخاب یا حتی اصل موضوع بی نهایت استفاده نمیکنه؛
اما درباره ی عدد پی هم شما رو ارجاع میدم به خود کتاب؛ آخرای کتاب فقط غیرگویا بودن پی ثابت میشه نه غیرجبری بودنش؛ در واقع اثبات غیرجبری بودن پی احتیاج به ابزارهایی پیشرفته تری داره که در اختیار بخش اعظم مخاطبان کتاب
هرشتاین (دانشجویان سالهای دوم و سوم کارشناسی) قرار نداره و نقد من به هرشتاین هم به این خاطر بود که یه اثبات غیرجبری برای گزاره ای که شاید خیلی ربطی به جبر نداشت اورده بود.
راستی کتبی که معرفی کردم رو بخونید؛ :x
به خاطر نقدتون سپاسگزارم؛ (البته شاید حرفهای من کمی مبهم بودند.)

لارمه ذکرکنم که اصل انتخاب وابسته به ریاضیاتیه که ما به کار میگیریم.

به نظرم جناب فرشاد اشکبوس سه خط اول کامنت شما گنگ و بی معنی و سراسر نامفهومه.صحبت های جناب اوبلر کاملا درسته و خللی به اونها وارد نیست.

اویلر گرامی در کتاب هر شتاین در مورد اثبات ترانساندان بودن عدد پی - نه گنگ بودن زیرا ترانساندان قوی تر از گنگ بودن است به طور مثال رادیکال دو گنگ هست ولی ترانساندان نیست - در مورد این اثبات گفته شده که خودش هم اثباتی داده که زیاد جالب نیست ولی نسبت به بقیه اثبات ها ساده تر است.

با درود. دوست گرامی آقای اویلر نمیدونم شما چقدر با ریاضی سر و کار دارید اما باید بدونید تمامی شاخه های جبر بر پایه منطق ریاضی و نظریه مجموعه هاست و اصل انتخاب یا تسرملو یکی از مبناهای ریاضی هست ، مثل اصل وجود ، اصل توسیع ، اصل شمول ، اصل زوج ، اصل موضوع بی نهایت و ... در واقع جبر هم بدون وجود این اصول موضوعه بی معناست البته عمل ها بر اساس مجموعه اعداد طبیعی و اردینال ها و کاردینال ها باید ساخته بشه که اصل انتخاب یکی از اوناست.. هندسه هم اون طوری که شما می گین نیست . در واقع این طرز فکر دبیرستانیه که فکر می کنه هندسه فقط اقلیدسی و نا اقلیدسیه. ما ده ها شاید صدها نوع هندسه داریم در ابعاد مختلف و .... خود هندسه رو میشه شاخه ای از آنالیز دونست.
به قول ریاضیدان برجسته یخ : در تمام ریاضیات یعنی مفاهیم جبر ، آنالیز تابعی ، توپولوژی در همه و همه جا اشیا از ویژگی های مختلف مجموعه ها پدید می آیند و خود این ویژگی ها از اصول ZFC یا همان اصل تسرملو - هم ارز اصل انتخاب - نتیجه گرفته می شود. تنها نظریه رسته ها یا همان کتگوری ها از این اصل استثنا هستند. پس حرف شما در زمینه این که جبر بر پایه این اصل نیست اشتباه است. با سپاس

یه توضیح کوچولو این که در واقع در جبر با مجموعه ها کار می کنیم خواص فراوانی رو برای مجموعه های دلخواه به دست میاریم ولی در واقع نمیدونیم اعضای خود مجموعه چی هستن آدمن حیوانن:D و هم چنین قضیه ای داره که 250 صفحه اثباتشه.از کتابهای جالب در این زمینه میگن کتاب آقای سالمکار.به طور کلی در همه زمینه های ریاضی به کتاب های ترجمه شده اکتفا نکنین و به قول دوست خوب ما اویلر عزیز منابع خارجی رو ببینین تا دیدگاهتون عوض بشه.

اما در پایان برای دوستانی که میخوان جبر بزنن!! (این عبارت رو خودم ساختم :D) اما معرفی این کتاب ها:
1-Introduction to group theory
این کتاب رو جناب بوگوپولسکی درباره ی نظریه ی گروهها و کاربردهای آن نوشته و خیلی کتاب سختیه؛ من خودم در صفحه ی 19 متوقف شدم!! این کتاب برای شروع خوب نیست ولی برای آدمایی که سواد کافی دارند خیلی مفیده؛ یکی از قشنگ ترین قضایای نظریه ی گروه ها که میگه "زیرگروه نرمال مینیمال یک گروه متناهی یکریخت با ضرب مستقیم گروه های ساده ی یکریخت است" رو من در این کتاب دیدم. با استفاده از این قضیه به راحتی میشه ساده بودن "گروه جایگشتهای زوج روی مجموعه ای با بیش از 4 عضو" که قضیه ی مهمی در تئوری گالوا هست رو ثابت کرد.
2و3-First course in abstract algebra و Advanced Modern Algebra
این دو کتاب پروفسور رتمان بهترین کتابهای آموزش جبری هستند که تا به حال خوندم. ولی یه کمی خوندنشون سخته
4-An Introduction to Abstract Algebra
این کتاب رو دکتر رابینسون نوشتند و کتاب خوبیه؛ دکتر شهشانی از روی این کتاب درس می دادند. این کتاب رو برای آموزش جبر تا حدود نسبتاً زیادی می پسندم.
5-Problems in Group Theory
این کتاب جناب دیکسون بهترین کتاب تمرین جبریه که تا به حال دیدم. این کتاب به معنای واقعی کلمه محشره!!! برای خفن شدن در زمینه ی جبر بهترین کتاب برای خوندنه، فقط یادتون باشه که نباید سریع راه حل ها رو نگاه کنید. بعضی وقتا دو سه روز درباره ی یه سوالش فکر می کردم! کتاب آسونی نیست ولی نباید ازش بترسید. حل کردن سوالاش بسیار لذت بخشه
6-Contemporary abstract algebra
این کتاب جناب گالیان کتاب نسبتاً ساده ایه که با مسائل نه چندان سختش درک بسیار خوب و عمیقی درباره ی مفاهیم بنیادین جبر به خواننده میده؛ برای تازه کارها این کتاب، کتاب خیلی خوبیه
[edit=simin]1393/06/10[/edit]