خلاقیت ریاضی

برای برادر کوچکتان کتاب مباحثی در ریاضیات دبیرستانی محمود نصیری ازانتشارات مبتکران با توجه به اشرافیکه نویسندش روی منابع روسی میتونه کتاب بسیار خوبی باشه.
در مورد توزیع ها گفتید این کار را در تمرینات احتمال انجام داده اید چه طور؟سوال را ممکن است بنویسید یا کتابی را که چنین سوالی دارد؟اغلب توزیع مجموع ان توزیع یکسان سوال میشد که با تابع مولد گشتاور ها حل میشد.موضوع مجموع توزیع های مختلف چندسالی است مورد توجه دانشمندان ژاپنی قرار گرفته و مقالاتی در این مورد ارائه کرده اند و بسیار پراهمیت به نظر می رسد.در واقع برآورد پارامترها و جایی که موضوع به آمار مربوط میشود قضیه حد مرکزی همواره خودش را نشان می دهد.
در مورد مفاهیم بنیادی احتمال به نظرم بهترین مرجع کتاب محکم و قاطع مبانی احتمال سعید قهرمانی میتواند باشد.

کتاب های انتشارات فاطمی کتابهای خیلی خوبی هستند ولی انتظار مرا برآورده نمی کنند. مثلاً کتاب "حل مسئله از طریق مسئله" کتاب بسیار خوب و ارزشمندی است ولی تنها اشکال آن این است که به درد افراد مبتدی نمی خورد، در حالی که کتاب "خلاقیت ریاضی" به درد افراد مبتدی هم می خورد. مثلاً برادر کوچکتر من(دانش آموز اول دبیرستان) از بین دو کتاب مذکور مسلماً کتاب دوم را می پسندد و می تواند بخش زیادی از آن را بخواند. کتابی که من می پسندم کتابی است که به سبک جورج پولیا نوشته شده باشد (ساده و روان) و علاوه بر آن مفاهیم مهم با ساده ترین بیان ممکن در آن توضیح داده شده باشند.
اما درباره ی مجموع توزیع ها:
مسئله ی مجموع توزیع های یکسان به این خاطر مطرح شده که ما معمولاً یک آزمایش را چند بار مستقلاً انجام می دهیم و از روی مجموع توزیعها یا میانگین این مجموع (قانون اعداد بزرگ و قضیه ی حد مرکزی درباره ی میانگین این مجموع هستند) اطلاعاتی را به دست می آوریم. بهترین و ساده ترین نتیجه ی این محاسبه قانون اعداد بزرگ است. اما درباره ی متغیرهای تصادفی با توزیع های مختلف ما در اکثر موارد به مجموعشان چندان علاقه ای نداریم ولی می شود توزیع مجموع این متغیرها را محاسبه کرد ولی لزوماً فرمول خوشگلی نمی شود! (این کار را در تمرینات احتمال انجام داده ایم) مفهوم همگرایی و قضیه ی حد مرکزی هستند که احتمال را مهم کرده اند و به آن پر و بال داده اند و در عین حال آن را دوست داشتنی کرده اند.
در صورتی که دوست دارید درباره ی مفاهیم بنیادی نظریه ی احتمال میتونید فیلم های کلاس درس احتمال دکتر علیشاهی (استاد دانشکده ی ریاضی دانشگاه صنعتی شریف) رو تهیه کنید. البته این فیلمها رو توی اینترنت نمیشه پیدا کرد و باید توی دانشکده ی ریاضی دوستی داشته باشید تا فیلمها رو براتون بیاره.

اویلر عزیز حرف شما کاملا درست میباشد برای این منظور میتونم کتابهای هانسبرگر و لارسن و کرانتز رو نام ببرم که هر سه توسط انتشارت فاطمی منتشر شده.
صحبت استاد احتمال رو گفتیم چیزی به خاطرم رسید اینجا مطرح میکنم.میدونیم مجموع ان تا توزیع نرمال میشه نرمال و ان تا توزیع برنولی میشه دوجمله ایو ان تا توزیع نمایی میشه ارلانگ یا گاما.در اینجا سوالی که پیش میاد اینه که وقتی این توزیع ها برابرند مجموع اونها یه توزیع با یه فرمول شسته و رفته میشه.حالا میشه ان تا توزیع مختلف مجموع آنها به یه توزیع گرایش داشته باشه؟

دوست گرامی جناب kazomano
من هرگز انتظار ندارم مسئله ی پیوستار توی یه کتاب حل مسئله طرح بشه؛ استاد احتمال دانشگاهمون می گفت: "کانتور آنچنان در این مسئله غرق شد تا سر از تیمارستان درآورد!!!"
میدونم که این سوال خیلی خیلی غامض و عمیقه واز ZFC مستقله ("گودل" و "پال کویین" ثابت کردند که با قبول ZFC فرض پیوستار تصمیم ناپذیره) من سعی می کنم عظمت این مسئله رو درک کنم. اما منظور من این بود که در یه کتاب آموزش ریاضی میشه اندکی هم از مباحث مهم و بنیادی صحبت کرد؛ مثلاً میشه راجع به "رابطه ی هم ارزی" یا مفهوم "ترتیب" که جزو مفاهیم مهم ریاضی هستند و در نظریه ی مجموعه ها طرح میشن صحبت کرد. بدون اینکه بخوایم وارد مسائل پیچیده بشیم میشه راجع به خیلی از مفاهیم مهم صحبت کرد. مثلاً میشه از ایده ی "افنا" که ارشمیدس باهاش عدد پی رو تا دو رقم اعشار حساب کرد یا محاسبه ی حجم مخروط و هرم با روش افنا صحبت کرد. بحث درباره ی روش افنا مفهوم "اندازه" و "اندازه پذیری" در آنالیز حقیقی رو بدون اشاره ی مستقیم برای خواننده ی مبتدی جا میندازه؛ بحث درباره ی وجود اعداد گنگ و الگوریتم نردبانی اقلیدس برای نسبتها به خواننده درباره ی کمّ پیوسته درک بسیار خوبی میده؛ بحث درباره ی مجموع سری هندسی با استفاده از اشکال تو در تو میتونه یکی از مهمترین مفاهیم آنالیز یعنی مفهوم همگرایی رو برای خواننده توضیح بده؛ تمام این کارها رو میشه بدون پیچیده کردن درس انجام داد.

دوست عزیز اویلر فرضیه پیوستار بحث های فراوان و مشکلی را در بر دارد و فکرنکنم این کتاب برای سطوح پیشرفته ریاضی نوشته شده باشد و هدف آموزش حل مساله میباشد.

درود بر دوستان عزیز کتابخوان
اگر به ریاضیات کمترین علاقه ای دارید امیدوارم این کتاب ساده، زیبا و روان ریاضی را به عنوان هدیه ای کوچک از من بپذیرید.
اثبات هایی از کتاب
ماجرا از این قرار است که پل اردوش (یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن بیستم) قصد داشت زیباترین اثباتهای ریاضی را در یک کتاب جمع آوری کند ولی به خاطر مشغله های فراوان فرصت این کار را نیافت؛ سپس تصمیم گرفت این کار را به افراد دیگری بسپارد، دو تا از دوستان نزدیک جناب اردوش این کار را پذیرفتند و با مشاوره ی او مطالب و مسائل این کتاب را انتخاب کردند. هدف نویسندگان و جناب اردوش نوشتن کتابی ساده، جذاب و قابل فهم برای کسانی که ذوق ریاضی دارند (حتی اگر ریاضیات را به صورت حرفه ای دنبال نکرده باشند) بود و به نظر من تا حدود نسبتاً زیادی به این هدف رسیدند.
این کتاب با این قصد نوشته شد که زیباترین کتاب در جهان ریاضیات باشد و اگر بگوییم واقعاً زیباترین هست اغراق نکرده ایم.

یادش به خیر نوروز 91 بود که با جورج پولیا آشنا شدم. اولین بار کارهای پولیا در زمینه ی نامساوی ها را دیدم. پس از چندی در کتاب شریف "Proofs from the BOOK" یک قضیه ی زیبای جبر از جناب پولیا دیدم، سپس کتاب "?How to solve it" رو تهیه کردم و از اینجا بود که دوستی من با جناب پولیا شروع شد. کار جالب دیگه ای که از جناب پولیا دیدم مسئله ی قدم زدن تصادفی روی گراف بود که انصافاً اون هم قشنگ بود. با وجود تمام این اوصاف به نظر من ارزشمندترین کارهای پولیا کتابهایی است که در زمینه ی آموزش ریاضی نوشته، من از جناب پولیا فقط این کتاب و کتاب "?How to solve it" رو دیدم که هر دو بسیار خوب، ساده و روان نوشته شده اند.
درباره ی این کتاب باید بگم که متأسفانه نتونستم به طور دقیق مطالعش کنم اما قسمتهایی از کتاب که برام جذاب تر بودند رو خوندم. در محضر استاد بزرگ و باتجربه ای چون پولیا انتقاد کردن خیلی جسارت میخواد ولی من به عنوان کسی که مقداری از ریاضیات رو به طور غیرآکادمیک و بدون معلم یاد گرفته و کمی هم ریاضی درس داده میخوام یه نقد بسیار کوچیک به کار آقای پولیا داشته باشم. این نقد به این معنا نیست که به کار جناب پولیا اشکالی وارد هست بلکه به این معناست که شاید اگر اندکی در کار خود تغییر می داد کارش بهتر می شد.
در ریاضیات مدرن دو مفهوم ساختی و دو مفهوم کمّی بسیار مهم و عمیق وجود دارند؛ دو مفهوم ساختی بنیادین در ریاضیات امروز "مجموعه" و "تابع" هستند. این دو آنچنان مهم و کاربردی هستند که بدون آنها تقریباً در هیچ جای ریاضیات نمیتوان فعالیت کرد. (فقط در هندسه، نظریه اعداد و ترکیبیات آن هم در سطح دبیرستان می توان بدون این دو مفهوم پیشروی کرد) این دو موجود ریاضی ساختنی، مهمترین اشیایی هستند که ما در ریاضیات با آنها سروکار داریم.
دو مفهوم کمّی مهم و عمیق ریاضی "کمّ پیوسته" و "بی نهایت بالفعل" هستند. (دکتر شهشانی این دو مفهوم را مهمترین مفاهیم ریاضی می دانند) کمّ پیوسته در هندسه انتزاع شد و مهمترین مفهوم در حسابان و معادلات دیفرانسیل است. "بی نهایت بالفعل" مفهومی بود که وجود آن در "اصل موضوع بی نهایت" نظریه ی مجموعه ها بدیهی انگاشته شد. (استقرای ریاضی و خوشترتیبی نتیجه ی مستقیم این اصل موضوع هستند) جالب اینست که پیش از کارهای جورج کانتور بی نهایت یک مفهوم بالقوه بود ولی کانتور نه تنها فرض وجود بی نهایت بالفعل را پذیرفت بلکه حتی پا را هم فراتر گذاشت و بی نهایت ها را از نظر عدد اصلی مقایسه کرد. مقایسه ای که منجر به طرح مسئله ی اول لیست مشهور هیلبرت و یکی از عمیقترین سوالات تاریخ ریاضیات شد، مسئله ی پیوستار! (کانتور به خاطر همین کارهای شگرف و نوآورانه اش آزارهای زیادی دید)
اما انتقاد
استاد معظم، جناب پولیا آنگونه که باید و شاید در این کتاب به این مفاهیم نپرداخته اند. برای کسی که می خواهد ریاضی بورزد درک درست و عمیق از چهار مفهوم ذکر شده در بالا به شدت ضروری است. اما این انتقاد می تواند وارد نباشد، چون مخاطبان این کتاب ممکن است نیازی به درک دقیق و عمیق این مفاهیم نداشته باشند (ممکن است ریاضیات را حرفه ای دنبال نکنند) ولی شاید اگر به این مفاهیم (به خصوص مجموعه) بیشتر پرداخته می شد بهتر بود.

хорошая книга я ее очень люблю:x:x

[quote='kazomano']کتاب چندان ساده ای نیست.برای آموزش معلمان خیلی خوبه.متنش آمیخته شده با شکلات و لواشک هندسه[/quote]

کتاب چندان ساده ای نیست.برای آموزش معلمان خیلی خوبه.متنش آمیخته شده با زهر هندسه