نظریه جبری اعداد

بخشی از مقدمه مترجم :

بشر همراه با شناخت اعداد به خواص آن نیز پی برده است. در واقع، نظریه اعداد را می توان علم مطالعه اعداد و روابط بین اعداد دانست. مسائلی که در طی قرون به وسیله علاقه مندان مطالعه خواص اعداد معرفی شده اند، پایه های اصلی نظریه اعداد مدرن را می سازند. این مسائل که به وسیله محققان و علاقه مندان مورد مطالعه قرار گرفته است، به تدریج به شکل گیری روش هایی که امروز در نظریه اعداد وجود دارند انجامیده است.
از طرفی رشد علمی قرون هفدهم و هجدهم منجر به پیشایش شاخه های مختلف آنالیز، هندسه و جبر گردید. این علوم جدید بنوبه خود بر تلاش هایی که برای حل مسائل نظریه اعداد صورت می گرفت تاثیر گذارد و باعث به وجود آمدن شاخه های مختلف نظریه اعداد (نظریه جبری اعداد، نظریه آنالتیک اعداد و نظریه هندسی اعداد) گردید.
از جهت دیگر با رشد سریع مهندسی، فیزیک و ریاضیات در نیمه دوم قرن جاری شاهد پیشرفت سریع علوم محاسبات الکترونیکی و به کار گرفتن کامپیوتر در محاسبات با اعداد بزرگ هستیم. تمام این روش ها را می توان در خدمت حل مسائل کلاسیک قرار داد، که یا به حل آنها دست می یابیم یا باعث کشف مسائل دیگری می شویم.
نوشتن یک عدد به حاصل ضرب عوامل اولش مفهومی است که از یونان باستان به ارث برده ایم. با نگاهی مدرن این موضوع بدیهی را می توان در قالب نظریه جبری حلقه های جابجایی و ایده آل ها قرار داد. تجزیه یک عدد صحیح و مثبت به عوامل اول آن، معادل است با تجزیه یک ایده آل در حلقه اعداد صحیح به ایده آل های اولش.
این تشابه را می توان سرآغاز نظریه جبری اعداد کلاسیک دانست. به طور کلی تر می توان گفت که روش های کلاسیک در نظریه جبری اعداد بر پایه خواص حلقه ها و ایده آل ها می باشد. این روش ها خصوصاً برای مطالعه معادله معروف فرما توسط کومر در قرن نوزدهم به کار گرفته شد. گرچه روش های فوق نتوانستند این مساله معروف را حل کنند، ولی بنیان نظریه جبری اعداد را پایه گذاری کردند.

فهرست کتاب :

فصل ۱ : قابلیت تقسیم
فصل ۲ : اعداد اول گاوسی
فصل ۳ : چند جمله ای ها روی یک هیات
فصل ۴ : هیات های اعداد جبری
فصل ۵ : پایه ها
فصل ۶ : اعداد صحیح جبری و پایه های صحیح
فصل ۷ : محاسبه در هیات های اعداد جبری
فصل ۸ : قضیه اساسی نظریه ایده آل ها
فصل ۹ : نتایج قضیه اساسی
فصل ۱۰ : اعداد رده ای و مسئله فرما
فصل ۱۱ : لم مینکوفسکی و نظریه یکه ها